弦乐四重奏

(题图：LHC上产生黑洞的计算模拟。)

在上一篇笔记[1] 中，我们看到，如何从自旋2、零质量的引力子出发，一路走到广义相对论。我们也提到，将这条路倒过来走，就得到广义相对论在微扰量子场论中的表述。出于意料的是，竟然有同学对微扰引力的计算感兴趣。所以也许可以就此再写一篇笔记。不过，我之前已经保证在这篇日志中谈谈额外维模型，所以只得将关于微扰计算的部分放在下一篇。好在这个系列本就是信手而写，并不追求严密的逻辑与连贯性。

关于额外维，尤其是Kaluza-Klein模型的基本想法，我在此前的一篇日志[2] 中已经谈过一些，这里不再赘述。简言之，Kaluza提出用第五维时空解释电磁相互作用，从而将其与万有引力统一描述；Klein巧妙地将这个额外维通过紧化的方式隐藏起来，使得这个模型不至于与我们的日常经验相冲突。这个想法是如此美妙，以至于向来喜好吹毛求疵的Pauli对它也颇为赞赏。

不过Kaluza-Klein模型既不是第一个额外维模型，也不是最后一个。在它之前的1914年，Nordstroem就曾试图将电磁相互作用延伸到第四维空间，使电磁势矢量获得一个额外的标量自由度，并用后者解释万有引力。（那时广义相对论尚未正式发表！）当然，无论是Nordstroem模型，还是Kaluza-Klein模型，在今天都已进入历史了。

额外维模型作为靠谱的现象学模型重新回到人们的视野中，已经是20世纪末的事情。此时，它的目标不再是雄心勃勃的大统一，而是要解决一个具体的问题，人称等级问题（hierarchy problem），即：万有引力为何如此之弱。对于这个问题，等价的提法是，为何Planck尺度（10¹⁹ GeV）远大于电弱对称性破缺的尺度（10³ GeV）？或者，Newton引力常数为何远小于弱作用中的Fermi常数？

1998年，伊朗帅哥泥马（Nima Arkani-Hamed）与合作者提出了一个解决方案[3] ，人称ADD模型。其基本想法是，万有引力之所以如此弱，是因为它被一个很大的额外维空间稀释了。在他们的模型中，δ个额外维（δ可以大于1）如同Kaluza-Klein模型那样被紧化在体积为V_δ =(2πr)^δ 的δ维轮胎面上，其中r衡量额外维的大小。除了万有引力之外的所有相互作用、以及所有物质粒子，都被限制在未紧化的4维时空中，唯独引力可以穿越到额外维去。

你也许会问，凭什么只有引力才能感受到这个额外维，这是否过于人为？其实在今天的物理学家看来，这种设置绝非斧凿之痕，因为弦论家们早就发明了将规范场自然地限制在低维子空间的装置，即D膜。当然，这并不意味着ADD模型的成立必须以弦论为基础。只能说，弦论提供了一个自然地实现ADD模型的背景。

好了，现在让我们仔细地瞧瞧，万有引力是如何被额外维“稀释”的。为此，我们首先写出妇孺皆知的Hilbert作用量[4] ：
S=(1/2)M_D ^2+δ ∫d⁴ xd^δ y (-g)^1/2 R。
需要注意的是，这个作用量是在D=4+δ维中写出的，g_μν 、R、以及约化 Planck质量M_D 都在D维定义。在ADD模型中，D维度规g_μν 满足1) 可分性假设（factorization hypothesis），即，D维度规在4维子空间上诱导的度规不依赖于额外维坐标，亦即，不依赖于4维膜在D维空间中的位置；2) 额外维是平坦的（紧化与平坦并不矛盾：想想圆柱面）。由这两个假设，我们可以从上面的作用量中积掉额外维，得到，
S=(1/2)M_D ^2+δ V_δ ∫d⁴ x (-g⁽⁴⁾ )^1/2 R⁽⁴⁾ ，
其中V_δ =(2πr)^δ 是紧化额外维的体积。如所预期，此式具有4维Hilbert作用量的形式，且带有如下的4维约化Planck质量M_Pl ：
M_Pl ² =M_D ^2+δ (2πr)^δ 。
此式可以部分地回答上面提出的等级问题。为看清这一点，让我们做简单的估计：取4维的Planck质量M_Pl =10¹⁹ GeV，而D维的Planck质量取作电弱破缺的尺度，M_D =10³ GeV。如果设考额外的维数δ=2，那么我们立即发现，只要紧化半径r ~ 10^-4 eV，上式就得以满足。注意到，这个紧化半径的尺度恰对应于1mm的量级。在粒子物理的概念中，这个肉眼可辨的尺度足以称得上巨大。这意味着，ADD模型对等级问题的回答依赖于一个巨大的额外维，大到毫米级别。

直觉上，这样大的额外维似乎有悖于我们的生活经验，但实则不然。记得我们在前文提到，只有引力才能感受到额外维，而其它物质，包括光线，都只能在3+1维子空间中运行。可是到目前为止，人们还没有在0.1毫米量级之下对万有引力的牛顿定律做过任何实验检验。因此毫米大的额外维暂时不成问题，虽然它最终还是会带来麻烦。我们将在稍后回到这一点。

另外，之所以说以上分析只提供了对等级问题的“部分”回答，是因为，ADD模型对巨大的能量尺度M_Pl 的解释，需要以引入巨大的空间尺度r为代价。因此毋宁说，等级问题在此被转移，而不是被解决。除非，我们找到了一种将时空流形的额外维部分稳定在毫米尺度的办法。不过，让我们姑且离开这个难题，因为等级问题本身也未见得是意义明确的物理问题。作为引力笔记的一篇，我们不妨关注ADD模型中与引力有关的、且可供检验的现象学后果。

我们记得，引力子场即为时空度规在经典背景上的微扰。在D维时空中，它是具有D(D+1)/2个独立分量的对称二阶张量，每个分量都是D维时空坐标的函数。而为了描述4维的物理，我们希望将这个引力子场“降解”到4维。这降解的过程，对于了解Kaluza-Klein模型的同学是熟知的。它分为两步：首先，将这个D维的对称二阶张量按照它在4维子空间中Lorentz变换的性质分解为一个4维的对称二阶张量，加上若干4维矢量与标量场。此时，这些场的各分量仍然是D维时空坐标的函数。接下来，将以上所得的各场量，作为额外维空间坐标的函数，作Fourier分解。由于额外维是紧化的，作此分解将导致一个质量等间距的粒子谱，人称Kaluza-Klein塔（KK tower），对以上的每种场量皆然。这里我们并不关心细节，而只需要记住，KK tower的间距与额外维的尺度同量级：Δm~1/r。

由于引力子的质量为零，同时，由于ADD模型中的额外维尺度可以大到毫米量级，以上分析告诉我们，零质量的引力子之上将长出一大串KK激发态。这些激发态与引力子具有完全相同的量子数，它们的质量从零开始按照~10^-4 eV的间距递增。我们不妨称之为KK引力子。

让我们来想想看，如何才能找到这些KK引力子：它们很轻，与任何物质有且仅有引力作用。这意味着直接“看到”它们完全是天方夜谭。这一点与中微子颇为相似，除了引力比弱作用还要弱得多。不过按照我们的经验，引力在大尺度上将变得明显。因此目前对ADD模型最强的限制其实来自天文观测。比如，来自超新星的gamma线可以辐射出KK引力子；KK引力子可能弥散在宇宙中；超新星辐射出的KK引力子可以在引力的作用下聚集成暗晕；KK引力子还可以衰变到光子。天文观测对这些过程的限制大体上已经将D维的Planck质量推到了几十、甚至几百TeV以上[5] 。

让我们回到粒子物理实验。在对撞机上，一切粒子都可以辐射出KK引力子，只是后者带走的能量在粒子能量远小于M_D 的情形下总可以忽略不计。但是，一旦粒子被加速到可与MD比拟的量级，它所感受到的引力就是额外维的引力，按照前文的推导，这个引力的强度与弱相互作用相当。因此其它粒子辐射出的KK引力子就可以带走可观的能量。这就是在对撞机上检验ADD模型的第一种方法：探测末态粒子能量的丢失。

也许你已经注意到了，LHC所能达到的最大能量不过14TeV，而天文观测对M_D 的限制已经高达上百TeV。这意味着ADD模型的1.0版根本无法在LHC上检验。不过，理论家总有对策。我们注意到：对天文观测有影响的物理往往来自于理论的红外部分，在ADD模型中，这对应于那些极轻的KK引力子。如果我们能想办法要求最轻的KK引力子不轻于100MeV，则来自天文观测的限制就不复存在。

那些冲着标题的同学肯定早就不耐烦了：这一切与“人造黑洞”何干？为了避免沦为纯粹的标题党，让我用这个问题来结束本文。

对于黑洞，有一个经典的无毛定理。它说，完全刻画一个经典黑洞仅用三个量即可：质量，角动量，与任意内部对称性的荷。如果将黑洞认同为一种天体，那么这个定理的确令人吃惊；但如果将黑洞看成是一种质量超重的粒子，那这一切就再自然不过了。事实上，我们在这里完全可以将黑洞定义为一个质量远大于M_D 的粒子，它的质量是如此大，以至于它的Schwarzschild半径已经超过了它的Compton波长。此时，可以用广义相对论，而不是量子场论，作为处理它的近似理论。如此一来，设若M_D 真的在1TeV附近，那么LHC的14TeV虽然称不上远大于M_D ，也勉强可以创造出一个类似经典黑洞的东西，它将以Hawking辐射的方式衰变出一个不带任何信息的热谱——这将是一个明显地信号。当然，由于14TeV离1TeV并不远，因而量子引力对此预言的修正有可能相当大。只是，我们真的不知道，量子引力究竟是什么东西。

到此为止，我们只是讨论了ADD模型中最基本的内容。我想这篇日志已经足够长了，因此不打算继续讨论它的更多现象学后果，况且这也超出了引力笔记的主题。另外，值得指出的是，目前流行的额外维模型，除了ADD之外，还有一种也许是更热门的Randall-Sundrum模型[6] ，并以“膜世界”的名字在圈子以外著称。限于篇幅，这里也不多作介绍了。

----------------------------------
[1] 【引力笔记之三】一步登天 。
[2] 精神病院隔壁的n次元世界 。
[3] N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali, Phys. Lett. B, 429, 263 (1998).
[4] “妇孺皆知”纯属杜撰。对Hilbert作用量不熟悉的同学可参考A.Zee, Quantum field theory in a nutshell, Chapter I.6, Princeton University Press, 2003. 那里的推导只用到了牛顿定律。
[5] Particle Data Group: Review of Particle Physics 2010.
[6] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999).

原本打算这两天贴出新的引力笔记，但在这一年将要结束的时候，我想换个话题。

但我不准备写一份正式的年终总结，于人于己，这实在容易变得无聊。

不如贴一首歌：

“我有一个恋爱”

过去一年，听到了那么多音乐，可这首歌始终给我留下很深的印象。无论是词还是曲。

作曲者冉天豪还是三十多岁的年轻人，却已写出了如此干净的合唱作品。

那些自然却不敷衍的进行、细致却不过分的和声，尤其令人激赏。

至于歌词，徐志摩的诗，我将它贴在下面。请各位自己读吧。

我有一個戀愛

徐志摩

我有一個戀愛

我愛天上的明星

我愛他們的晶瑩

人間沒有這異樣的神明

在冷峭的暮冬的黃昏

在寂寞的灰色的清晨

在海上 在風雨後的山頂

永遠有一顆 萬顆的明星

山澗邊小草花的知心

高樓上小孩童的歡欣

旅行人的燈亮與南針

萬萬里外閃爍的精靈

我有一個破碎的魂靈

像一堆破碎的水晶

散佈在荒野的枯草裏

飽啜你一瞬瞬的殷勤

人生的冰激與柔情

我也曾嘗味 我也曾容忍

有時階砌下蟋蟀的秋吟

引起我心傷 逼迫我淚零

我袒露我的坦白的胸襟

獻愛與一天的明星

任憑人生是幻是真

地球存在或是消泯

大空中永遠有不昧的明星

这张出版于台湾的专辑，我是在过去一年偶然得知，又几经辗转才买到。

在年末找出其中一首歌与诸位分享，以感谢那些读过我的日志的朋友、提出批评建议的朋友、与我往返讨论的朋友。通过你们，我学到了那么多，实在是一件美好的事情。就像听到这首歌一样美好。

我相信你也会喜欢它。

(题图：在google图片中搜索“graviton”出现频率最高的形象。谁能告诉我这是神马？貌似Wiki对此还有专门的词条graviton？)

从我贴出上一篇引力笔记到现在已经过去了很久。这一方面是由于我此前忙于别的问题，另一方面，则是由于我没有想清楚如何将这个系列写下去。因为按照原计划，我希望写写在传统量子场论的框架下对引力的理解。如所周知，这条路已被证明是无法走通的，至少在最简单的情形下。同时，其中涉及到的计算又相当繁琐。研究这个问题的前辈中的代表人物M. Veltman和B. DeWitt等等都是不畏繁冗计算的大师。因此将这个故事的来龙去脉写出来实在是无趣的事情。在我看来，有时候，无趣比错误还可怕。因此不如不写。

最近关于LHC的不少新闻使我意识到，也许可以写写在对撞机上寻找引力效应的问题。这类问题大多只需要用到经典的广义相对论与初步的量子场论，不涉及量子引力的细节，因此作为“引力场论化”系列的第一步，应当是合适的。同时，它应当也能引起非专业读者的兴趣，因为这往往使人联想到“人造黑洞”。的确，这不仅是科幻的题材、科普的噱头，在职业物理学家的工作中，它也是被严肃对待的话题。

因此，我们将以不进入、或稍稍进入细节的方式介绍用传统量子场论处理引力的一般方法，并将它应用于目前流行的两个额外维模型，并简要介绍它们对实验的主要预言。为避免篇幅过长，我将分两次陈述这些内容。

本文的目标，就是构造引力子所满足的运动方程。让我将其表述得更诱人一些：我们将从笔记一的结论，即，引力子是自旋为2、无质量、有相互作用的粒子这几乎唯一的事实出发，推导出广义相对论中的Einstein场方程。这也就是标题所谓的“一步登天”。

h∂²h； h_μν∂²h^μν； h_μλ∂^μ∂_νh^νλ； h∂^μ∂^νh_μν .

（其中h=h_μ^μ）然而它们并不能以任意地方式组合。因为，在自旋大于或等于1的情形，场的独立极化的个数与粒子的自旋分量的不吻合将导致规范对称性的出现。在此处，规范对称性表现为，当我们对引力子场h_μν作如下变换时：

h_μν → h_μν + ∂_με_ν + ∂_νε_μ ,

作用量应当保持不变。在相差一个整体因子的意义下，满足此要求的以上四项的线性组合是唯一的。而这个整体的系数可以通过引力子场自身的归一化确定。由是，我们得到了如下的动能项：

(1/4)*[h∂²h - h_μν∂²h^μν + 2h_μλ∂^μ∂_νh^νλ - 2h∂^μ∂^νh_μν ].

将其对引力子场变分，即得场方程。显然，这个方程并不是Einstein场方程。这是由于以上的所有讨论都将引力子处理成了无相互作用的自由粒子，因而由之而来的场方程只能是线性的方程。我们不妨称之为线性化的Einstein场方程。以下我们将会看出这样称呼的理由。

将以上结果与电动力学作一类比，则可更清晰地认识到我们的处境。在后者，光子是自旋1、无质量、无自相互作用的粒子，描写它的作用量也具有局域的Abel规范对称性。这里的唯一差别就是自旋。它提示我们，将以上的线性引力子场方程作非线性化的推广，就类似于Yang-Mills当年将电动力学中的Abel规范场推广到非Abel规范场。然而这并不是一件简单的工作。熟悉历史的同学大概知道，Yang-Mills在作此推广的时候颇费了一番工夫。而我们面临的问题只会比他们的更加复杂，因为，与Yang-Mills场方程相比，Einstein场方程呈现出更多的非线性。

好在，将Abel规范对称性推广到非Abel的情形，在场论中已经有一套系统的方法，人称Noether方法。然而我更愿意在这里把它叫做“摸石头过河法”。这种方法要解决的问题是，当给定一种场的对称性变换后，如何构造在此变换下保持不变的作用量。让我们用SU(2) Yang-Mills场为例对其作简要说明。在这种情形，我们事先知道的是（与Abel的情形类似的）SU(2)规范势 A_μ^a的线性化Lagrangian，即 

L⁽⁰⁾ = (-1/4)f_μν^af^μνa，其中 f_μν^a = ∂_μA_ν^a - ∂_νA_μ^a，

以及A_μ^a的规范变换：

δ⁽⁰⁾A_μ^a(x) = iε^abcθ^b(x)A_μ^c(x) .

Noether方法的第一步是，让我们从自由场的Lagrangian L⁽⁰⁾ 出发，对其作规范变换δ⁽⁰⁾。一般来说，L⁽⁰⁾在此变换下会发生改变。但此改变一定正比于∂_μθ^a，因为L⁽⁰⁾具有整体的SU(2)规范对称性。于是，我们可以写，

ΔL = j^μa∂_μθ^a。

Noether方法的第二步是，定义一个新的Lagrangian，

L⁽¹⁾=L⁽⁰⁾ - (1/2)g j^μaA_μa，

则L⁽¹⁾在准到g的一次项上，在如下“新的”规范变换下保持不变：

δ⁽¹⁾A_μ^a =(1/g) ∂_μθ^a+iε^abcθ^b A_μ^c

接下去的步骤，就是我所谓的“摸石头过河”：为了得到准到g的平方阶的δ⁽²⁾规范不变的Lagrangian L⁽²⁾，我们对L⁽¹⁾重复以上两步，如此递推下去，直至找到一个在g的任意阶下规范不变的Lagrangian。SU(2) Yang-Mills理论的简单之处就在于，到L⁽²⁾这一步，我们就已大功告成：L⁽²⁾具有严格的局域规范不变性，准到g的任意阶。它就是Yang和Mills当年为SU(2)规范场找到的作用量。

回到引力子的情形，我们可以如法炮制。为此，需要确定引力场的规范变换。由于Coleman-Mandula定理的限制（参见笔记一），这里的规范变换必为广义坐标变换（即微分同胚）。与之对应的整体变换即为坐标的平移。我们都知道，时空坐标平移对引力子场的作用可以表达为：δ⁽⁰⁾h_μν=ε^λ∂_λh_μν。联合我们在本文一开始给出的自由引力子场的规范变换，并从其Lagrangian出发，原则上我们就可一路算下去，找到一个微分同胚不变的作用量。也许你已经猜到结果了：没错，它就是Hilbert作用量：

L_H=(√g)R，

其中度规g_μν=η_μν+κh_μν，κ是引力耦合常数，而R是由度规g_μν给出的标量曲率。

后面的步骤就是熟知的了：对Hilbert作用量做变分，我们就得到了无源的Einstein场方程。读者也可以自行将此结果推广到含有物质场的情形。

引力的复杂之处在于，当使用Noether方法时，需要将上文描述的递推过程无穷地做下去。从而，最终结果，即Hilbert作用量，包含引力子场的任意高的幂次。作为对比，在Yang-Mills场的情形，这一步骤终止于规范场的4次方阶。

引力的这种表面的复杂性有着更深刻的根源。这个根源，简言之，就是其耦合常数κ的量纲[2]。在自然单位制下，κ的质量量纲为-1。这意味着，简单地对引力子场进行量子化将导致一个不可重整的理论；这意味着，这一理论在一个特定的尺度，即Planck长度κ^-1下将失效；这意味着，在场论的框架内，我们对Planck尺度的物理还没有任何清晰的理解。这些断言的背后是无数繁杂的计算，自然，我不打算在此深入下去。即使如此，这篇日志似乎也过于技术化了。

幸运的是，或者遗憾的是，实验也远不能触及这个尺度（~1.2×10¹⁹GeV）。可是在逻辑上，这并不能推出，我们在TeV量级的对撞机上一定看不到任何引力的效应。心急的理论家已经提出了种种一石二鸟之策，在将Planck尺度拖到TeV尺度的同时，去解决电弱对称性破缺的问题（这个问题在科普文本中常以“质量的起源”的字眼出现）。这将是下一篇笔记的内容。

-----------------------------
[1] 注意与通常的引力场g_μν（即度规张量）相区别。此刻，我们处于平坦的Minkowski空间。以下的公式都使用(+,-,-,-)度规。
[2] 读者可以通过量纲分析来理解为什么Yang-Mills Lagrangian的Noether构造必然终止于规范势的四次方阶。

我希望这个题目不会吓跑非专业的同学。因为虽然它看上去很专门，但我并不是要以此讨论物理问题，而是一个关于物理的问题。这个话题，我在以前的日志中零零散散地谈过不少[1] ，所以本不愿再写。但近日身边好几位同学又提到它，每次我都得单独解释。而我实在觉得将一个观点向不同的人重复解释是一件麻烦的事情。于是索性再写一篇日志，把近来关于此问题所作讨论的要点总结一番。

（一）

首先，让我向非专业的同学说明一下，费米子的质量谱是什么。我们知道，物质按照其结构可以细分为分子、原子、原子核与核外电子……等等。在目前人类的认识范围内，这个不断分划的序列存在一个终点。这个终点就是我们目前所谓的“基本粒子”。当前，尚无任何观测和实验证据表明它们还有进一步的内部结构。因此，可以认为它们是构成我们物质世界的最基本的砖瓦。这些“基本粒子”可分为两类：一类是负责传递基本相互作用（强、弱，和电磁。当然也可以加上万有引力，如果你坚持这么做的话。），它们都是自旋为1的玻色子；另一类是构成物质的粒子，它们都是自旋为1/2的费米子，包括6种轻子（3种带电轻子与3种中微子）和6味夸克。

根据目前的实验结果与理论考虑，这些轻子都有不为零的质量。除了3种中微子的质量极其微小且尚未确定之外，另外9种费米子的质量都是确知的。让我们来看看它们的质量是多少，顺便熟悉一下它们的名字[2] ：

首先是三种带电轻子：

电子：0.00051；
μ子：0.11；
τ子：1.8。

然后是6味夸克：

u夸克：0.0017-0.0033；
d夸克：0.0041-0.0058；
s夸克：0.10；
c夸克：1.3；
b夸克：4.2；
t夸克：170。

以上数据的单位都是GeV，这个单位有多大我们并不关心，因为我们将要考虑的只是这些数据的相对大小；另外，对于所有数据，我只保留了两位有效数字（也许你立刻会指出t夸克质量的记法不正确，如果你是死理性派[3] ）。

不难发现，从最轻的电子，到最重的t夸克，这些费米子的质量已经横跨了七个数量级（更不用说比电子还要轻若干量级的中微子）。这个现象令许多物理学家感到极其不快。因为，如果这些粒子都是基本的，我们该如何想象它们的质量会相差这么多？换言之，若将这些粒子喻之为上帝建造世界所用的砖瓦，那么如何理解，其中某些砖块重一千克，而另一些砖块重一万吨？

将以上讨论总结成一句话：“作为基本粒子的费米子的质量为何会貌似无规则地分布在如此大的范围？ ”这就构成了一个典型的“等级”问题 （Hierarchy problem）。


（二）

当下，有不少物理学家正试图解决这个等级问题。然而我认为，这不是一个好的物理问题。下面，让我来试图将我的理由讲清楚。

用物理学家的行话来讲，这些费米子的质量都是自由参数。言下之意，这些数之所以如此，只是实验的结果，理论对它们没有任何约束或预言。一般来说，解决这类问题的第一步，乃是寻找这些费米子质量分布的规律。这些规律本身就构成了理论上的某种约束。通过它，我们就能减少自由参数的个数。或者，可以换一种更漂亮的说法：人们通常希望将较多的经验结果纳入到一个包含较少信息量的框架中。这种信息量的有效缩减，就是我们所谓的规律。而寻找规律的过程，我们不妨称之为“拟合”。

有好的拟合，也有坏的拟合。我经常用两个例子来说明这一点。一是妇孺皆知的Balmer公式；二是Kepler的行星轨道模型。在前者，Balmer用一个简单的经验公式拟合了氢原子光盘的四条谱线；在后者，Kepler用简单的正多面体嵌套模型（在当时天文观测的精度内）解释了太阳系各行星轨道半径的关系[4] 。

从这两个问题本身看去，Balmer和Kepler所提供的解答都通过简单的规律有效地总结了看似散乱的现象，因而是美妙的。可是今天的人们大多会同意，前者是一个好的拟合，而后者不是，虽然它看上去更完美。

因此，我们的问题就是：评价一个物理拟合是否是好的，其标准何在？当然，每个人可以有不同的标准。但我认为，对于物理学家，一个重要的标准是，这种拟合是否可以做出原则上可被检验的预言 。因为，给出可供检验的预言，而不仅仅是对现象进行整理与归纳，这是物理学，或者说现代科学与传统神话的重要区别。按照这个标准，Balmer的拟合是好的拟合，因为他通过这个拟合预言了新的谱线，并得到了观测的证实。而与之相反，Kepler的拟合不给出预言，它仅仅是对现象的一种精巧的描写。在这个意义下，Kepler的工作只是一种包含数学的神话。

需要澄清的是，我从不认为存在一种普适的标准。尤其是对物理工作之优劣的评判，更不应该为简单的规则所限制。我暗自揣测，对Balmer公式之优与Kepler模型之劣，以上的分析只是物理学家所给出的一种冠冕堂皇的理由，却不是他们内心深处最原始、最强烈的理由。这个原始的理由，在我看来，恰恰是：Balmer公式有今天为绝大多数物理学家所承认的量子力学来保证其合法性，而Kepler模型缺乏这样的“后台”。

的确，通过将量子力学应用于氢原子，我们可以轻易地“从理论上”复现Balmer的结果。无数的观测和实验与理论考虑共同编织了量子力学的意义之网，这个网络的各个节点通过它在网络中的融合确立自己的意义，Balmer公式就是其一。而Kepler模型呢？在我们今天的认识里，太阳系的演化是由牛顿力学（或者广义相对论）所控制的。在这样的图景中，行星轨道的位置很可能是一个随机的结果。即使今天的理论有可能会要求它们的轨道半径的分布应当呈现出某种形态，但无论如何，这都与五种正多面体没有关系。在这样的背景下，Kepler模型失去了自己的位置。一句话，模型的意义只能在知识网络的背景中方能浮现出来 。


（三）

让我重复一遍。我们在上面谈到了两种判断拟合工作之优劣的标准。一是，它是否能够作出原则上可为观测或实验所检验的预言；二是，它是否能够将自身接合进我们知识背景的网络中 。我将这两种标准分别称为内部的标准 和外部的标准 。带着它们，现在，让我们回到费米子质量谱的问题，即等级问题。

首先，从我们早先提出等级问题的方式来看，我得说，它的美学考虑多于物理考虑。仅此一点，就使我感到这是一个危险的问题。因为我一直认为，对物理学家来讲，美学考虑并不是一个好的动机 ，尤其是在它被过分强调的当下。的确，物理学史上有不少基于美学考虑而成功的案例（Einstein和Dirac就是典型），但因此而失败的案例可能更多（典型的失败案例仍然是Einstein和Dirac）。按说，这种从编织神话的时代遗留下来的、为满足人们心理需要而大行其道的美学考虑在以标榜一切从经验出发的现代物理学家那里不应该有太大的市场，可是在今天理论物理的研究中，它们仍然屡见不鲜，披着各种复杂的技术考虑的外衣。[5]

好了，现在我们能很容易地看到，简单地拟合费米子的质量谱，不是好的物理。因为，假设人们已经找到了拟合费米子质量的公式，一如Balmer或者Kepler那样，我们马上就得问：它的预言是什么？下一个费米子的质量是多少？根据上文所列的数据，这些费米子的质量分布呈现出的不只是数量的差别，而是量级的差别。假如，真的存在尚未为我们所观测到的费米子存在，且这种按量级增长的趋势是正确的，那么下几种费米子的质量就会大得惊人，以至于原则上无法观测；抑或，自然界真的只有上文列出的几种基本费米子，那么拟合它们质量的工作就与Kepler的模型无异。总之，无论这两种情形的哪一种是对的，从我们的内部标准看来，拟合费米子的质量谱似乎都难于给出可被检验的物理预言。

当然，这是最幼稚的情形。理论家可以编造出各种理由来逃避上面的批评，并反而攻击这些分析的正确性。但他们无论如何逃不掉这里的内部标准。他们的模型必须要给出可被检验的预言。这类模型其实不少，为了避免陷入复杂的技术细节，这里我们不再讨论。但清楚的是，这些模型所做的事情绝不仅仅是拟合费米子质量——它们需要从这里出发再生枝节。

让我就我们的内部标准多说两句。物理学的精神在于求真，而非求美。在物理的世界中，没有一个上帝来保证真善美三者必然同一。因此，简单地以人们臆想的美妙理论去拟合这个光怪陆离的世界，就很难避免罗素火鸡的命运。这对于当前的物理学来说尤其重要。因为，我们对“真”的定义与百年前已相去甚远 。由于目前物理学研究的对象已经超出了传统的经验世界，因此科学活动不再是传统意义上的“解谜”或“破案”。

为说明这一点，我喜欢将物理学的研究比喻为“黑盒子问题”。这种问题，也许你在高中物理课中遇到过：在一个密封的黑盒子里，导线通过你未知的方式连接着一些电子元件。你所能做的事情是探测这个黑盒子端口的电信号。而所谓的黑盒子问题，就是通过这些信号来推测黑盒子里电路的连接方式。

这正是现代物理学所要做的事情。唯一的区别是，我们所面对的黑盒子是永远无法被打开的。比如，你永远无法回到宇宙大爆炸或者超新星爆炸的现场去看个究竟，你永远无法将自己缩小到夸克尺度去亲眼看看原子核的内部结构。我们所知道的一切，只是望远镜或者粒子探测器中的信号。在这样一个只有现象的世界中，谈论真的方式一定与我们朴素的理解不同。如果极端一些，我愿意说，现象背后并无真相 。

在这种理解下，所谓物理理论的“真”，只能是指它的预言能力，它与经验事实接合的能力。这就是所谓理论的有效性。由此，我们方能理解，作出可供检验的预言，对于一个理论来说有多么重要。因为，对于物理理论来讲，除了有效性之外，再无更多的真理。有效性就是真理的全部 。


（四）

最后，从我们的外部标准来看，解释费米子质量的等级问题也不见得是一个有意义的问题。须知，等级问题之所以成为问题，是由于我们从心理上预期，这些作为构成物质的基本粒子应该有相同的质量。可是，这种预期的道理又何在？我以为，只能来自于“民主”的观点。如果我们从一开始就假设基本元素之间的某种平等关系，那么等级问题的确是无法理解的。可是，如果回到亚里士多德的物理学，回到那种强调天然位置、强调等级制的学说中，你会立刻发现，等级问题不再成为问题：因为那些巨大的量级差别本该如此！

还是那句话，问题之所以成为问题、之所以具有意义，是因为它与其身后的观念之网的相互作用。而这一网络，却是随着时间的流逝以一种惊人的方式演化的。当然，上面的全部讨论的意义也依赖于这个网络提供的背景，因而不具有绝对的有效性，但我正是希望通过它来说明，类似的判断同样适用于费米子质量的等级问题。也许在今后一个更成熟的理论中，这些作为基本粒子的费米子的质量也是通过某种随机的方式生成的，一如太阳系行星的轨道。果真如此，那时的人们回过头来看我们为解决等级问题所做的工作，就会像我们回过头去看中世纪的哲学家论证一根针尖上能站多少天使的工作一样。

让我以薛定谔的一段话作为结尾吧[6] ，对我们这些深居象牙塔里的科学工作者来讲，这的确是很好的警示：

“有一种倾向，忘记了整个科学是与总的人类文化紧密相联的，忘记了科学发现，哪怕那些在当时是最先进的、深奥的和难于掌握的发现，离开了它们在文化中的前因后果也都是毫无意义的。如果有一种理论科学，它不懂得它的结构中那些被认为是要害的部分，最终不免要被纳入一些概念和词语（它们抓住了有教养的团体）的框架之中并成为一般世界图式的一部分——我认为，如果有一种理论科学，在那里，这一点已被忘记，在那里，已经对它入了门的人用那些最多只被少数游客所懂得的术语互相继续着冥想，那么，这种理论科学必将被其他有教养的人所抛弃。尽管深奥难懂的闲谈可能会在那些乐于孤立的专家群内部继续着，但随着时间的流逝，它注定要萎缩和僵化。”

--------------------------------------------------------------
[1] 可见，比如，《简单和优美的包袱 》和《人择原理，开普勒和宇宙 》。
[2] 数据来源于K. Nakamura et al (Particle Data Group) 2010 J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 37 075021. 另外，定义夸克的质量是一个复杂的问题。这里的数据是夸克的流质量。
[3] 当然了，死理性派总是防不胜防的。所以自此以后我不再作类似声明。
[4] 也许任何一本量子物理学史的著作都会提到Balmer的工作，这里不再一一列举。Wiki上简短 的介绍可供参考。至于Kepler的模型，亦可参考Wiki ，或者我此前的日志：《人择原理，开普勒和宇宙 》
[5] 此处，我向读者推荐阿西莫夫的一篇文章《12.369》，载于 艾萨克•阿西莫夫：《宇宙秘密》，吴虹桥、苏聚汉、林自新译，上海科技教育出版社，2009年。
[6] 转引自 普里戈金，斯唐热：《从混沌到有序：人与自然的新对话》，曾庆宏、沈小峰译，上海译文出版社，1987年。

(题图：《梵净》by 张望)

近日埋头于计算，无暇更新博客。而计算到今天却也停滞不前。加之京城尽日浓雾，又给我增添了新的烦闷，头脑郁结滞涩。索性停笔，转而求诸音乐以寻慰藉。可是，这个时候于我心境相合的，仍旧是勃拉姆斯的室内乐。Op.120中单簧管的呜咽，犹如风干的泪痕，温暖平和中掩埋着极大的沉恸，使我不能自已。这究竟是无可奈何的事了。

这大概是一座驿站，等着我的到来，并给我以反思的机会。但愿我不会在此停留过久。

（一）

物理和音乐，构成了我生活的两极。然而相较于物理，我却很少写到音乐。因为我向来觉得，音乐于我自己乃是一件极其私人化的活动，将它们交待得太清楚，就仿佛揭露了隐私。再说，这也不是可以交待清楚的事。用语言去进犯一个不可言说的世界，从一开始就是注定要失败的。

物理则不然，因为这是一门追求确定性的学问。尽管它时常掺杂着审美的成分，神性的成分乃至不可知论的成分，但我相信任何头脑健康的物理学家都会将这些成分恰当地隔离在自己的研究工作之外。对于降低物理学中的审美成分，我猜不少人会不以为然。但是我现在仍旧认为物理中的美被过分渲染了。须知，物理的目标是（有限意义下的）求自然的真，而不是求心灵的满足。在这个祛魅的世界里，没有先定的原则告诉我们真和美的必然重合。

罂粟花也是美的。

（二）

前两天和一位朋友闲聊时，他对我说，“你就适合在物理中出家”。不得不承认，我被这句话戳中了。也就是说，我发现，他是懂我的。然而细想来，我却无法明白这句话的意思，或者说，这并没有听上去那样简单。因为，对于职业科学家，研究物理仅仅是一项工作而已；那些如“为真理而献身”，“追求真理的勇士”的字眼，于他们来说太不相称。再者，在现实的规章制度的约束下，研究工作往往变得细致琐碎，寻常意义上的宗教狂热也并不顶用。既然如此，我为何会对这句话作下意识地认同呢？

很可能，一位职业音乐家的感受会恰好和我相反。在他看来，音乐工作意味着无休止的练习演奏，无穷尽地压榨最后一滴创作的灵感。无论是勃拉姆斯还是高山流水，在作为谋生的手段面前，只会被精确而得体地肢解。反倒是物理，反倒是星空、黑洞、大爆炸、时空旅行，反倒是优美的弦理论，也许可以为他的工作注入新的活力。

这可是全部的事实吗？

（三）

前一段时间，睡前闲翻小山词，我常常读到令人激赏的篇什。从字面看去，它们大体是闲愁离恨，思念美人的意思。如果按照流俗的标准，叔原同学或许就是个标准的猥琐男。可是当你揣摩着那些词句时，或者毋宁说当那些词句揣摩着你的心灵时，你就会发现，作者从这些寻常的儿女情话中撑开了一个新的世界，一个较我们这个充满盘算和隔膜的生活世界远为光亮的世界。藉此，我们得以从平庸的生活的囚笼中解放出来。在柏拉图那里，在勃拉姆斯那里，在爱因斯坦那里，我们都曾有过类似的经历。这些身外的世界并不唯一，如柏拉图所设想的那样。然而却正是它们的多样性，使得我们的精神作更大的舒展。

需要澄清的是，我并非二元论者。我以为那些身外的世界并非本然的存在。无论是物理，还是音乐，这些吸引我们并解放我们的东西都是辛勤工作的结果。而这工作本身，恰恰如同教徒虔诚的修行，成为引领我们通向那身外世界的不二法门。

这也许就是从物理中出家的意思罢：向身外的世界，求更大的自由。

本学期的讨论班“quantum field theory and beyond”将于本周末开始第一次活动。详情如下。

【时间】9月18日（星期日）下午2:00开始。
【地点】理学院A221（理科楼写有“数学”的一侧，二楼）。
【主讲人】张龙（高等研究院）
【提要】（by 张龙）
我将尝试介绍E Witten关于Chern-Simons场论的一篇文章。在这篇文章中，他建立了Chern-Simons理论与流形的拓扑不变量，特别是扭结理论中 Jones多项式的联系。限于个人数学水平，我将介绍这篇工作中最基本的部分，还有一些问题需要与大家讨论。

【参考文献】
E Witten, Quantum field theory and Jones polynomial, Commun. Math. Phys. 121, 351 (1989).

欢迎感兴趣的同学参加。

《倾听寂静》，这是一部关于指挥大师Abbado的纪录片。我在为眼下这篇日志寻找标题时，很自然地想到了它，虽然我是打算继续关于苹果树下的引力随笔，而不是讨论音乐。

我记得在这部影片中的几个衔接处，音乐停止，一切似乎安静了下来，可你仍然能够听到一阵轻微而持续的轰鸣，是的，我愿意使用“轻微的轰鸣”这个有些奇怪、却自认为十分贴切的说法。如果你对此缺乏体验，可以听听匈牙利作曲家György Ligeti的作品Atmosphères（大气层）开头的几分钟。这段奇妙的音乐向我们展现了，当舞台上的所有角色隐退之后，舞台，或者背景本身，是如何浮现出来的，带着细微精致的鸣响。

关注背景，而不是前景，不只为先锋派艺术家开辟了新的视野，还为物理学家带来了无穷灵感。说到这里，你也许马上会想到宇宙微波背景辐射：的确，人们在上世纪60年代首次观测到它时就以为是背景噪声。当然，这种探索背景的企图还可以继续向前追溯到Michelson和Morley在1887年所做的试图追踪以太的著名实验。对微波背景的测量给出了丰富的信息，且相关测量直到今天仍在进行中；而对以太的观测则得出了零结果。可是无论结果如何，它们都刷新并深化了我们对这个世界的背景的认识。

废话到此结束。在这个笔记的上一篇，我们讨论了引力子的质量和自旋。看这个架势，似乎我们要很自然地按照量子理论的传统将引力量子化，而这是一个深刻而困难的问题。因此，在进入这样的理论之前，先来回顾一下实验上给出了量子引力的多少信息，应该不是多余的。作此安排的一个原因是，先前的成见让我以为，在实验上探测量子引力效应似乎遥不可及。可是，与这种直觉恰恰相反，目前的实验已经在量子引力方面为理论家提供了值得注意的信息——这是本文将要讨论的。需要向专业的读者指出，本文的依据是Giovanni Amelino-Camelia在1999年某冬季学校上所作的报告[1] ，现在看来显然过时了。不过本文意在提供一种直觉，而这些过时的数据尚能胜任。
……

以下是我刚才群发的一封邮件，不加修改贴在这里。感兴趣的同学，欢迎围观；不感兴趣的同学，请无视之。

------------------------------

您好，

这封邮件是关于清华大学2011年秋季学期量子场论讨论班（seminar on QFT & beyond）的通知。您之所以收到这封邮件，是由于您满足以下两个条件之一：

1）曾经参加过该讨论班的活动；
2）曾经向我发过希望参加此讨论班的邮件。

我们的讨论班将于开学后第一周（9/12--9/18，以星期一为一周的第一天）周末正式开始，计划为*专题讨论*。我们将不囿于一本固定的参考书，而是 由主讲同学自行选择专题（专题的范围限于量子场论、弦论以及相关的理论物理问题），即类似于2010年春季学期讨论班的形式（可参考该讨论班的文集： http://learn.tsinghua.edu.cn:8080/2010310800/Webpage/files/QFTSeminar.pdf ）。我希望本学期的讨论较以上文集的水平有相当的提高和深入。所以，每个专题不一定要在一次讲完，也可以视情况讲两到三次。

第一次活动将由高研院的张龙同学主讲（题目未定，或者是CFT，或者是D-brane）。

我希望通过此封邮件向您确认几件事情：

1）如果您不打算参加我们的讨论班，亦不希望今后收到关于讨论班的邮件，请告诉我；
2）我初步计划将该讨论班的时间定在每周周日下午14:00--17:00。如果您的确打算参加，则无论时间表是否有冲突，也请*尽快*告诉我，因为我将根据大家的反馈调整并确认最终的时间；
3）如果您有好的题目可用作讨论，请告诉我，不要迟疑。根据以往的经验，参与主讲往往会有很大收获；
4）劳请广而告之：如果您身边的同学亦有兴趣参加该讨论班，我们将非常欢迎。

期待您的回复，并祝新学期一切顺利。

鲜于中之

参悟佛法须坐于菩提树下。而对于研习物理的人们来说，牛顿老前辈的经验表明，苹果树下似乎才是更好的选择。对于在引力方向做研究的物理学家而言，苹果几乎成为一种图腾——这是对本篇标题的一个解释，以期诸位看官不要将它误会成夏娃或者乔布斯的苹果。以此为标题，我打算不定期地总结一些关于引力问题的笔记。自然，其中的绝大多数想法并非我原创，因此只能是N手的。不过我希望尽量做到N<3。

到目前为止，人们尚未给引力找到一个自洽的微观理论，故而这些文字皆属管窥蠡测；加之本人学识尚浅，尚不能看到引力这一深广领域的全貌，因此无法写得万无一失；更可能的是，作者在行文途中犯了老毛病而插一些不着边际的废话。总之，错漏自然难免，我只希望那些生动有趣的想法不要被扭曲得不成样子。

免责声明必不可少：已如上述，这是一组读书笔记，作者完全无意将它们写成大众科普。这意味着，如果您是看热闹的外行，而竟然碰巧看懂了一些（这是作者所期望的！），那么请切勿全信！如果您是瞧门道的行家，那非常欢迎您带着板砖前来理论。

好了，广告结束，让我们进入正题。

不夸张地讲，对引力的研究启动的近代物理世界的构造。如果说牛顿为人们带来了上帝的光，那光便是万有引力定律。然而颇为吊诡的是，这扑朔迷离的光却让几百年后的物理学家仍然为之衣带渐宽，形容憔悴。畅销科普书的读者都听说过广义相对论和量子力学水火不容的百年恩怨，而以下的文字就将揭示这个传奇故事中的一些细节。我们的问题将是：我们知道什么？我们如何知道？我们不知道什么？有哪些可能性？

……

很久没有更新blog。而在这篇日志中我也并不打算写更多，只有两条消息：

1、我用学校网络学堂提供的空间新开了一个个人主页：

http://learn.tsinghua.edu.cn:8080/2010310800/Webpage/index.htm

这个空间主要作学术交流之用。

2、我最近整理好了我们2010年春季学期量子场论讨论班的文集，可以点此下载 。

这里摘出其前言与目录：

Preface

This volume is a collection of lecture notes used in the seminar on modern quantum field theory during spring semester 2010 at Tsinghua University (THU). This journal club was originated by my friend Long Zhang (nicknamed Big Tiger$\sim$) and me, and participated by some undergraduate physics students from BNU, PKU and THU. The seminar was held weekly and consists of 12 informal lectures given by our participants.

Since most of us had taken a course on quantum field theory before, we were aiming at achieving a better understanding of the theory as well as acquainting ourselves with some of its applications to various directions of modern physics. As a result, the topics vary from condensed matter physics to high energy physics, as can be seen from the contents.

The volume contains 9 notes of the talks, provided kindly by the speakers. I choose to leave everything in its original form without any correction (except for adding a new reference to the note of my own). One year has passed since then, and many things in this volume may look ``too simple'' and ``sometimes naive'' for us. However, at least in my opinion, this is probably the best way to record the wonderful time we have shared together, which I will always treasure.

I would like to acknowledge all speakers who have made essential contributions to this volume with their elaborate work for not only preparing the talks but also writing their lecture notes into \LaTeX files. I would also like to thank all the participants, without whom the seminar would never be successful. At the same time I have to apologize, as the editor, for the terrible delay of the appearance of this volume.

Contents

Preface iii
1 An Introduction to Chiral Anomaly by Zhong-Zhi Xianyu 1
2 A Brief Introduction to Loop Quantum Gravity and Its Applications by Biao Huang 15
3 Anomaly, Topology and Renormalization Group by Zhong-Zhi Xianyu 37
4 Peierls Transition in 1-Dimensional Lattice: Three Approaches by Long Zhang 51
5 Spin Connection and Local Lorentz Transformation by Xiao Xiao 59
6 An Introduction to Dark Matter by Lan-Chun L¨u 69
7 Quantum Geometric Tensor... by Ran Cheng 79
8 An Introduction to Linearized Gravity by Zhong-Zhi Xianyu 89
9 On Chern-Simons Gauge Theory by Xiao Xiao 103

以下是关于我们讨论班的简要情况，摘自我的主页 ：

Currently I’m holding a seminar, focusing on quantum field theory (QFT) and related topics, which is a weekly journal club with several PhD students participating.

……