• 2015-11-02

    暂停更新

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  • 2015-11-01

    十年与百年 - [有感而发]

    再有两个月,2015年就过去了。与前几年中微子、Higgs、CMB轮番的大新闻相比,今年的高能物理稍有点冷清。(啊,别忘了五夸克态。)如果说还有什么事件,或许也就是纪念广义相对论诞生100周年吧。100年前物理学革命的盛况自然无法亲眼一见,不过能在100年后纪念之,也算是我辈之幸。要我说,在物理学史上,像广义相对论这样震古烁今的成就,百年未必有其一。

    相对论和量子力学直到今天看来仍然十分牢靠。然而我们都知道,或者毋宁说相信,无论广义相对论还是标准模型,都不会永远这样坚挺下去;我们也还知道暗物质、暗能量是21世纪初的两朵新乌云,至于这两朵乌云何时才能兴起百年前那样的风雨,就颇无从可知了。

    不过今年的这番纪念,倒让我想起了10年前。那是狭义相对论100周年。爱因斯坦在1905年不仅提出了狭义相对论,还写下了光电效应和布朗运动两篇经典论文。后来大家说1905是爱因斯坦的“奇迹年”。在我的印象中,2005年的各种纪念活动比今年更大张旗鼓。如果没记错,2005年被叫作“世界物理年”。我现在也不知道这是谁还是什么组织定下的,也懒得查了。

    那时我正读高中,学校似乎还和周围其他中学一起组织了一个不知所以的火炬传递活动。详情已经记不清,我只记得物理老师叫我去那个活动现场讲话。之所以叫我去,大概是看透了我那时已经打定主意要上这条贼船吧。幸亏我已经忘记当时讲了些什么。要是能想起来,准会幼稚得叫人脸红。

    如果没记错,也是在同一年,中国科协的年会选在新疆召开。其中有一场院士进校园与中学生对话的活动。在那里,我第一次有幸亲眼看到杨振宁、周光召、杨乐、姚期智这些传说中的学界明星。我还记得大家请杨先生讲话时,杨讲了什么“左和右不对称”,引来同桌一阵吐槽:也太玄乎了吧。

    2005和2015在我自己的人生轨迹上也都是很重要的年份。而在这之间刷新的、积累的、丢弃的、留下的,还需一番工夫才能整理清楚。这样来回一想,就觉得十年实在是很长很长的时间。然而据说,爱因斯坦在提出狭义相对论之后就开始思索引力的问题,又花了10年,方修成广义相对论的正果。如今,当我在100年后亲自将这10年度量一遍,才发现所谓“十年磨一剑”或者“十年如一日”,实在是很不简单。

    当然我们不见得非要像爱因斯坦那样,单枪匹马对着一个问题死磕十年。前面说过,这在物理学中是极罕见的个例,颇不可复制,即使在数学中也仅是偶见。况且在大科学的背景下,高能物理的发展瞬息万变,合作与交流在今天比任何时候都更重要。不过另一方面,这种持之以恒的精神在今天反而是更要紧了。想想看,像中国即将建造的这种“超级对撞机”,非千万人之力数十年之功而不可。其中的不可思议,无论如何都不逊于爱因斯坦的广义相对论吧。

    除开这些大事业不说,一个人能够将一件事情一点一点地做很长很长的时间,不也很美好吗?啊,我们完全没有必要渲染个中甘苦,更何况爱因斯坦自己说:“For the most part I do the thing which my own nature drives to do.”的确可算 “好知不如乐知”的达诂了。

     

  • 按:我校博士毕业的条件之一是在毕业前作一篇与自己专业背景相关且有一定哲学意味的论文。以下是我的初稿,写得略嫌敷衍,且篇幅和力度都不够搔到问题的痒处。不过考虑到很久没有更新blog,还是贴出来,待今后补充修改。

    1.

    夸克(quark)这个如同鸟叫的拟声词,源于James Joyce谜一般的小说《芬尼根的守灵夜》。物理学家M. Gell-Mann拿它来命名一类“基本粒子”[1]。据粒子物理学家说,原子核由质子和中子构成,而质子与中子,则由夸克构成。这句话似乎不难理解,毕竟,如果仅从字面意思看,它与“分子由原子构成”、“原子由原子核与荷外电子构成”之类的说法没有实质的区别。可是,夸克这种“基本粒子”无法单独地存在,它们几乎总是被强相互作用束缚在强子(例如质子)中[2]。因此,我们在粒子物理反应中所“看到”的,几乎总是强子间的相互转换,而不是独立的夸克间的相互转换。换句话说,我们从来没有直接“看到”一个单独的夸克。

     

    物理学家告诉我们,这不是因为我们的技术手段有限(如同18世纪的物理学家无法“看到”一个单独的原子),而是说,夸克原则上就无法被看到——当我们试图将一个夸克从强子中“拽”出来时,这个“拽”的过程为强子注入的能量足以创造出一对新的夸克,分别“粘”在被“拽”开的强子的两部分上,以至于总的效果是,我们看到一个强子分裂成了两个(或更多的)强子[3]。

    这个充满比喻的说法,不仅透露出物理学家在用日常语言解释其理论时的无能为力,而且使我们心生疑惑:既然永远无法看到单独的夸克,为何还需要创造夸克这个概念呢?进言之,夸克是真实的吗?对此,物理学家会继续说,虽然无法看到夸克,但我们可以间接地观察到它的效果,比如通过粒子探测器上的“喷注”(jet)。可是,让我们试着考虑下面几个很不相同的使用“真实”一词的例子:

    • (基督徒所说的)上帝是真实的吗?——我们无法直接看到祂,但能通过某种方式感到祂的存在。
    • (中医所说的)元气是真实的吗?——我们自然看不到元气,但是它可以通过人的身体状态呈现出来。
    • (用来承载电磁波的)以太是真实的吗?——我们无法看到以太,但是电磁波在“真空”中能够传播,说明有一种以太填充在真空里。

    显然,每个例子都包裹着大量值得讨论的问题。我们眼下所关心的仅仅是,这几个例子,连同夸克的例子,在字面上都含有“看不见但真实存在”的意思。它们同时暗示,1)“是否真实”这一问题,对于那些不能直接看到的对象而言,尤其值得讨论。当然,这倒不是说,所有看不见的东西,其真实性都需要大加怀疑。比如,具有一般常识的人大概不会反对,空气、电磁波、核辐射,的确是真实存在的——而不是虚构的。2)“以某种间接的方式被感知到”,并不是对“看不见但真实”的有力辩护。是否真实存在,与是否被直接感知到,没有直接的对应。3)“真实”一词在不同的语境中可以有很不相同的意思。基督徒说上帝是真实的,与19世纪的物理学家说以太是真实的,大抵是在不同的意义下使用“真实”一词。但无论如何,以上各例中,“真实”总可以与“虚构/人造/假想”对举。这对反衬的概念使得我们可以有意义地说,冥王星是真实的而火神星是假想的,曹雪芹是真实的而贾宝玉是虚构的,等等。但是“所有客体都不是真实的,而是被我们的感官虚构的”这类命题的意义就不甚清楚。我们强调这一点,以避免卷入Berkeley式唯心论或类似的感觉与料(sense-datum)的讨论[4]。

    看来,在讨论“夸克是否真实”之前,首先要辨清粒子物理学中“真实”的含义。因为本文所谈论的夸克就是粒子物理学中的夸克,而不是某种古典哲学中假想的微观实体,所以脱离粒子物理学而谈论夸克真实与否是没有意义的——有如脱离《红楼梦》而谈论贾宝玉是没有意义的——至少没有我们眼下所关心的意义。

    大而言之,物理学是关于自然对象的经验-实证科学[5],它最终要落足于观察、实验、测量。与此同时,物理学最重要的目标却是找到现象背后的规律,特别是数学规律。正是这种连结数学规律与实验现象的企图,形成了物理学的内在张力,并且贯穿了近代物理学发展的全部历程,不独为专注于微观世界的粒子物理学所有。只是,随着物理学的发展,其研究对象逐渐地远离日常经验、而描写这些现象的数学理论也愈发抽象。于是,来源于日常经验的“实在性”概念的意义在这套复杂的理论-观察科学中变得模糊不清。看来,若需辨清实在性在近代物理学进化过程中的去向,不可不对物理学史上相关的重要理论与概念作仔细地考察。这一任务显然无法在本文的篇幅内完成,因此,我们在此仅简要地提出围绕这些关键概念的问题,并稍作分析,以待今后更仔细地考察。对于理解粒子物理学中“夸克”的实在性问题,这样的简单分析应当足够了。

    2.

    上文提到,真实性对于肉眼不可见的对象尤其成问题。让我们首先来对这一点作简单的考察。

    近代物理学诞生之初,Newton力学的典型研究对象,如自由落体、单摆、斜面上的动体,都是我们在寻常意义下直接可见的对象。而Newton力学中的核心概念“力”,我们在日常经验中通过诸如肌肉的紧张和触觉上的压迫感而熟知,因而也算不上费解。一个稍微偏离日常经验尺度的例子,是在Newton引力定律的成型中起重要作用的天体运动,因为观察它们有时需借助望远镜。我们今天具有一般常识的人大概不会怀疑,用望远镜所观察到的天体的真实性。然而,有趣的事实是,当Galileo用他发明的望远镜发现木星的卫星时,一些哲学家拒绝承认这个结果[6]。由此可知,在人类刚开始借助仪器来延伸可见世界的时候,那些肉眼不可见、而必须借助仪器来观察的对象的真实性,就已经引起了人们的怀疑。

    尽管对望远镜的疑虑很快就烟消云散,但是随着技术的发展,我们的视觉被仪器不断地延伸到高度远离日常经验的区域,“真实性”就重新成为令人困惑的问题。对于在显微镜、甚至高能粒子散射实验中被观察到的微观对象,它们的真实性不时引起争论。早期的科学哲学家企图放弃不可直接“看见”的微观对象的真实性[7],但是“看见”的标准在这里变得模糊不清;通过显微镜看见算看见吗?通过中子散射呢?通过大型强子对撞机呢?对此,物理学家M. Born评论道[8],把一块晶体磨碎成肉眼不可见的粉末,那些只能借助显微镜看到的粉末就不那么真实了吗?显然,从宏观物体通向微观对象的道路上,没有一个截然明书“真实性到此止步”的路牌。

    值得注意是,对于通过仪器而得的观测结果,人们需要一段消化的过程。刚才提到,通过望远镜被“看到”的Galileo卫星的真实性,曾受到过短暂的质疑。但是随着时间推移,观测结果不断积累、理论愈加完善,两者间的相互印证逐渐增多,这些新知识就逐渐整合到我们的知识系统中而被接受下来。再经过相当长时间的普及,这些知识遂成为受过良好教育的人的一般常识,而“真实性”就以其日常的意义附着于这些业已稳定的概念中。这一过程适用于物理学史上的很多概念,比如万有引力、电磁波、原子,等等。

    这种将新的物理对象充分消化、直到它们在日常理解下的真实性也确凿无疑的过程,最终能抵达夸克这类更深层次的物质结构吗?在一定意义上是可以的,而且今天的粒子物理学已经发展到了这一步。尽管夸克理论表现出很多反直觉的性质,但它们可以被理论很好地定量刻画。在对撞机上,已经有无数实验定量检验了夸克理论的各种预言。所以,如今将“夸克是否真实”的问题提给任何一位粒子物理学家,至少在科普的意义上,他大概会不假思索地给出肯定的回答。

    不过需要留心,我们说夸克只是在在一定意义上(即上文所推论的这种意义上)是真实的,因为这种初步的科学史考察仍然留下了很多疑点。对于以上结论,我们马上可以怀疑:1) 19世纪的物理学家亦大量使用“热质”、“以太”之类的概念,但是这些概念后来被认为不对应于任何真实存在的对象。对于夸克,是否也有这种危险?2)粒子物理理论说,夸克无法被单独地观察到。这一点与原子、电子、质子等等微观粒子都不同,却与Newton的绝对时间和绝对空间、19世纪物理学中的以太等概念有几分相似。这是将以上物理学史推论延伸到夸克时的一个重要障碍。3)夸克是量子世界的物理对象。量子物理的规律与经典物理有如此大的区别,以至于我们在日常经验所获得的直觉、包括在其中习用的若干概念,在量子规律下都会失效。考察夸克的真实性,不可忽略这一点。自然,这对其他微观粒子,包括电子、质子等等,亦成问题,但是这问题对于夸克来说尤其突出。

    3.

    看来,我们需要更深入地考察物理理论的结构,特别是其概念系统与实验观测的相互关系。以下仍然概述之,作为更仔细研究的纲要。

    我们仍从Newton力学开始,因为即使在Newton力学这种处理日常经验尺度的物理理论中,也需要引入一些无法直接观测的概念。当我们在下文考虑量子场论之类更为复杂的物理理论时,记住这一点是有益的。在Newton自己的理论中,我们见到了绝对时间、绝对空间,和超距作用这些被认为存在但无法直接观测的概念。当然,后人发现绝对空间与绝对时间的概念即使在Newton力学中也不是必要的;至于超距作用,Newton本人已表达了不满,后人对此也多有批评,视之为难以理解之物。但是,万有引力这种超距作用所满足的平方反比律在天文学观测中获得了很大的成功(例如对海王星的预言)。

    我们今天已经清楚,万有引力,如同电磁力,不是超距作用,而是引力场与物质相互作用的效果。Newton力学中引力之所以表现为超距作用,是因为这种理论忽略了引力场自身的动力学,如同静电学的Coulomb定律忽略了电磁场的动力学。对于电磁场,第一套完整的动力学理论由J. Maxwell首先提出;而万有引力的第一套成功的动力学理论则是A. Einstein提出的广义相对论。

    场的真实性曾使物理学家感到困扰。如前所述,在Newton万有引力定律与静电学这类理论中,场没有独立的动力学,因而这些理论其实没有引入场的必要。在Faraday那里,场被具象化为某种“力线”,但是这只是某种方便的比喻,如同Newton力学中将力表示为带有方向的线段。到此为止,场的概念只有数学的意义,即某种随时间和空间逐点而变的量(如温度场、气压场),与其说它本身是某种真实存在的物质,不如说是另一种真实存在的物质(如以太)的性质。然而,在著名的Maxwell方程组中,电磁场获得了独立的动力学,这暗示,电磁场不只是某种为了方便而引入的数学概念,而是具有一定“真实”性的客体。有趣的是,Maxwell在完整地写下这套著名方程的同一篇论文中[9],已经在试图构造描写电磁场动力学的微观模型。当然,我们既可以说这是电磁场的微观模型,也可以说是电磁场的介质以太的微观模型。如果与晶体中的声波类比,我们大概可以说,电磁场是以太的某种振动的宏观表现。

    以太这一概念在历史上的几度沉浮是物理学史中一个十分有趣的案例,这里自然无法详细分析,只予概述。基于波动光学的巨大成功,19世纪的物理学家普遍相信,作为传播光的介质,以太是真实存在的。Maxwell的机械模型是试图洞悉以太的微观结构的一个典型例子。随后,人所共知的故事是Michelson–Morley实验的零结果与狭义相对论的提出。以太由此成为一个著名的“无用的概念”,在这场物理学革命中被丢弃。对此,我们常可以见到的说法是,电磁波无须介质,它可以在真空中独立传播。这仿佛是在说,声波只是某种介质的机械振动,因而不是独立存在的物理客体;与此相反,电磁波可以在真空中独立传播,因而代表了一种独立的、真实存在的物理自由度。在这种理解下,19世纪末的物理学家所接受的一种观念是,物质有两种基本的存在形式,一是以原子论和Newton力学为理论基础的粒子,二是以电磁学为理论基础的场或波动。

    然而故事远未就此结束。如所周知,量子论的出现打破了粒子与场的截然二分,同时也引起了无穷无尽的哲学讨论。量子力学中的概率诠释、波动或粒子何者更为基本、不确定性原理等问题,是这些哲学讨论的中心。但是,在对这些问题的常见讨论中,一个常被忽略然而十分重要的因素是,量子力学的理论框架,直接来源于经典力学的Hamilton体系,而这套体系最初可以追溯到数学家J.-L. Lagrange里程碑式的《分析力学》。在这部著作中,Lagrange用分析的方法(特别是变分法)重新表述了Newton最初创立的一套经典力学。与Newton基于矢量分析的具有直观物理含义的方式不同,Lagrange的体系、以及其后的Hamilton体系具有高度抽象的数学形式,其中,居于核心地位的概念经常不是具有直接物理意义的可观测量,比如所谓的“坐标”与“动量”的含义可以高度任意,与“真实”粒子的空间坐标和物理动量可以没有任何关系。但是根据一套确定的规则,可以从这些核心量推导出观测量,从而可以与实验与观测相比对。

    在这套形式体系中,物理理论呈现出一种清晰的“内核”与“接口”的分化:那些核心量、与产生可观测量的规则,构成了理论的“内核”,它们与“真实”的物理对象并没有直接的关联。同时,根据这套形式体系的计算规则,可以推导出核心量与可观测量的关系,从而可观测量的作用相当于理论内核与实验结果间的“接口”。借助这些接口,可以将实验结果输入到核心量中,然后根据一定的运算规则,产出更多的可观测量,并与实验比对。物理理论的预言性体现在,内核中未知的核心量数目有限,因而可以通过有限次测量予以输入;当这些输入完成之后,原则上就可以通过这些已知的核心量计算出任意多供实验检验的可观测量。值得强调的是,这套形式体系并不是一种确定的物理理论,而是构造物理理论的一种框架,因而可算作“理论的理论”。它的高度抽象性意味着不宜在其内核部分讨论关于“真实性”的问题。然而这种抽象性也意味着高度的灵活性,因而可适用于重构各类物理理论。事实上,Newton运动定律、Maxwell的电磁场动力学、Einstein的广义相对论,都可以在这套框架下被简洁地表述出来。而这种框架中理论内核与观测量接口的二分,其实在Newton力学最初的表述中已露端倪。我们在前文分析超距作用和场的实在性时,这一点已经暗藏其中。

    而量子力学、特别是统一描写所谓粒子与电磁场的量子场论,正是建立在这套抽象的形式体系的基础上。经过20世纪中下叶几十年的发展,量子场论已成为今天高能物理学甚至凝聚态物理学和宇宙学的标准范式。依照我们今天的理解,描写电磁场、以及强相互作用和弱相互作用的微观理论,都建立在量子场论的框架下。在量子场论中,以太重新以“真空”为名成为具有核心重要性的概念。依照我们从量子场论获得的理解,场与粒子都可通过量子场刻画,它们之间没有截然的二分。而这里的量子场,可被看作真空-以太的激发[10]。与此同时,不应忘记,这里的真空与量子场,都只是量子场论形式体系中的“内核概念”,本身不对应于可观测量。量子场论的可观测量,是各种量子场在真空之上的激发的期望值,它们与诸如粒子探测器上的信号有直接的对应关系。在此,如果注意到,夸克、连同电磁场等等其他物理概念,在量子场论中只是“内核概念”,而远不是可直接观测的物理量(它们当然不是),我们就会发现,在这层意义下“夸克是否真实”是一个意义不明的问题。

    这其实是一个相当普遍的结论:在量子场论中,具有核心重要性的问题是理论的可预言性,而不是其中某些物理概念的真实性。这种可预言性,保证了我们处理高度远离日常经验的对象时,还能意义明确探索可观测世界背后所隐藏的数学规律。真实性在这里只有衍生的含义,而没有本体论的意义。夸克的例子是这一普遍结论绝佳的展示。因为按照我们今天对强相互作用的认识,以夸克、以及负责传递强相互作用的胶子为基本“内核概念”的量子色动力学,还有一种数学上(近似的)等价的表述,在这种等价表述中,基本结构不再是如同胶子或夸克的量子场,而是具有长度和张力的弦。历史上,强相互作用的弦理论表述甚至比色动力学出现得更早。由于色动力学的巨大成功,弦表述被逐渐遗忘,因而在相当普遍的情形下,我们一般可以认为夸克和胶子在一种“衍生”的意义下是真实存在的。而发现于20世纪90年代末的弦论-场论对偶(即用弦或场对同一个理论的等价表述),将强相互组作用的弦理论表示重新拉回到物理学家的视野中,因而在一定意义上,我们也可以说,构成强子的更低级结构是弦,而不是夸克。自然,我们不宜争论夸克或弦的表述何者更为真实或更为本质,如同我们不应争论量子力学中的波动和粒子何者更为本质。

    4.

    我们在以上只是相当粗糙地概述了对于夸克真实性、乃至更一般的微观粒子真实性的量子场论视角。量子场论对于我们认识微观世界、包括其中若干观念性的问题,提供了大量深刻的启示。由于篇幅所限,这里无法展开讨论。但是,通过对物理学史上若干理论和概念的演化作一般性的回顾(本文在此方面亦止于提纲性的概括),我们希望能够达到这样的认识:量子场论中这些高度抽象、相互纠缠的观念、结构、方法,不是突然涌现的,而是在近代物理学的开端,即Newton力学那里,就已出现了的若干倾向持续发展的结果,恰如同一种思想方式的基因的高度表达。

    根据我们以上的讨论,追问“夸克是否真实”只有相当有限的意义。相较于争论微观对象的不可捉摸的真实性问题,物理学理论更关心那个高度远离日常经验的微观世界所呈现出的可以明确把握的数学规律。在这个意义上,“客体的真实性”的本体论问题似乎被溶解了。但是,它留下了一个不可溶解的残余:为什么恰恰是这种数学规律(而不是另一种数学规律或者另一种非数学的规律)可以如此有效地描写这个世界的根部。Einstein说这个世界最不可理解之处在于它竟是可以理解的,正是就这层问题而言;而Wittgenstein在此关口径直说,对于不可说的应当保持沉默,似乎恰是在提示数学或逻辑方法的界限。然而无论如何,这是一个诱人的残余问题,这种提问方式深深地沉淀着我们理解世界的方式,对这问题的任何探索,都将透露出这样一个事实:物理学不仅揭示了自然界的某种真理,同时揭示了人观照这真理的方式;物理学在怎样的程度上刻画了自然的本性,就在相同的程度上映照出其背后的人性。

     

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    [1] 相关历史可参考,M. Gell-Mann, The Quark and the Jaguar: Adventures in the Simple and the Complex, Henry Holt and Co., 1995.
    [2] 唯一的例外是顶夸克。顶夸克的寿命是如此之短,以至于在被强子化之前,它就已经衰变了。
    [3] 关于高能粒子物理的一般介绍,可参考,A. Bettini, Introduction to Elementary Particle Physics (2nd Edition), Cambridge University Press, 2014; 以及,D. H. Perkins, Introduction to High Energy Physics (4th Edition), Cambridge University Press, 2000.
    [4] 关于感觉与料的讨论,参见 J. L. Austin, Sense and Sensibilia, Oxford University Press, 1962.
    [5] 关于经验-实证科学之名的辨析,可见,陈嘉映,《哲学 科学 常识》,东方出版社,2007。
    [6] 可参见,例如,S. Drake, Galileo at Work: His Scientific Biography, Dover Publications, 1995.
    [7] 参见H. Reichenbach, The Rise of Scientific Philosophy, University of California Press, 1968.
    [8] M. Born, Physical Reality, The Philosophical Quarterly (1953) 3 (11): 139.
    [9] J. C. Maxwell, On Physical Lines of Force, Philosophical Magazine, 1861.
    [10] 在量子场论中,电磁场重新被看作真空-以太的激发,与19/20世纪之交的物理学革命中以太概念的废弃并不矛盾,而且生动地体现出物理学概念在演化的过程中,各种理解方式之间的此消彼长。以目前量子场论的视角重新回顾当年狭义相对论对Michelson–Morley实验结果的解释,可以说,当时的物理学家之所以认为以太的概念应当抛弃,是因为真空-以太的奇特性质远远超出了当时物理学家的想象力。物理学家几乎用了整个二十世纪,才对真空的性质有了较为清楚的理解。然而目前困扰物理学家的暗能量问题,显示出我们对真空的认识仍有关键性的遗漏。

     

     

  • 2014-08-06

    律学小记 - [与人乐乐]

    1.

    最近看到不少人人好友转发一篇关于“数学和音乐之关系”的日志,大致涉及到了(例如钢琴琴键的)音高应当如何确定的问题。可在我看来,此文就关键问题只是隔靴搔痒,并未切中要害,且行文并不明净,难以卒读。可另一方面,我相信,诸如“音阶的高度应如何确定”这样的问题,对于和我一样有理科背景的音乐爱好者来说,是极富趣味和吸引力的。于是有了写这篇小文的想法。我自然不是专家,对这些问题的些许知识,仅限于此前读过的一点律学书。好在律学,就其基本内容而言,并非高深的学问。有理科背景的读者若想明白这些道理,应该是易如反掌的[1]

    简言之,本文要讨论的内容大致起源于这样一些朴素的疑问:

    1、 为何是十二平均律?亦即,一个八度内的音何以需要(按等比数列)作12等分,而不是10等分、或者13等分?
    2、 为何要在12个半音音阶内选出特定的一些音级,以构成大调音阶、或者五声音阶?这种选择是纯然基于文化习俗、还是另有物理的原因?
    3、 何谓谐和的音程?为什么纯五度谐和而增五度不谐和?更尖锐地:为何小三度谐和而增二度不谐和,即使它们依十二平均律是相等的音程?再一次:谐和与否的判据,在何种程度上基于习俗的约定、何种程度上来自物理的考虑?
    4、 据Pythagoras学派说,和谐音程的诸频率具有简单的整数比。但是十二平均律的12个半音级中,任何两个音的频率比都是无理数。这如何解释?

    这些问题的答案,有的很容易想到,另一些则未必。同时,这些问题也相互关联。我并不试图在下文完全回答它们,而只是简单地展开之。

     

    2.

    让我们以一些老生常谈开始。具有固定频率的单频谐振动,被人耳反应为一定的音高。例如,A4音(旧称a1)的频率通常约定为440Hz。实际上,乐器很少能发出单频谐振动,而往往是在一个较强的单频模式上,叠加若干较弱的高频模式。这里,频率最低、幅度最大的模式,我们称之为基音,而其上较弱的高频模式,称之为泛音。当泛音的频率是基音的整数倍时,它们就不易为人耳所单独察觉,而是起到修饰音色的作用,其总的效果是,我们听到了一个具有固定音高(等于基音频率),同时具有特殊音色(由泛音频谱决定)的乐音。在这方面,弦乐器和管乐器都是典型的例子。反之,如果在基音上方叠加的高频模式并不是基音频率(基频)的整数倍,我们的耳朵通常就不会听出固定的音高,从而将其识别为噪音(这里并非在噪音的日常意义上使用之)。典型的例子如各种打击乐器[2]

    人耳对频率的响应,如同对响度的响应,具有对数的模式。所谓相等的音程,是指频率比的相等而非频率差的相等。所谓八度,是指频率比为2的音程。如此一来,只要确定一个音的频率,其上下八度间隔的各个音的频率也就确定了——无非是乘以2的整数次幂[3]。请注意这里的逻辑:我们为行文方便计,将2倍频定义为“八度音程”。至于“八度”,则来自大调音阶的约定,并无特殊的理由。而为何是大调音阶,确是有待回答的问题。

    只有八度音程的音乐自然是过于单调了。我们仍需在一个八度之内添入新的音。这些音的频率该如何指定,正是我们现在要解决的问题。

    为叙述方便,让我将频率的单位取为八度之内第一级音的频率。如此一来,一级音的频率就是1,而其上八度音的频率就是2,其下八度音的频率就是1/2。

    另一个重要的约定是,由于此后我们只关心一个八度之内的音,所以将相差若干个八度的两个音视为等同。换言之,我们将频率模掉2的任意整数次幂。这样,我们所关心的频率只在1到2之间取值。例如,前述的自然泛音列具有频率 (1, 2, 3, 4, 5, 6, …),按照此处的约定,它们在一个八度内所对应音高的频率就是 (1, 1, 3/2, 1, 5/4, 3/2, …)。当然,这并不单纯是约定,而和人耳的听觉特性有关。否则,我们就会问,为什么要模去2的整数次幂而不是,比如说,3/2的整数次幂?一个可能的回答是,2倍频处于自然泛音列的第一级,在所有泛音中,其响度通常最大。这种与基频长期的共生,大概会使我们的听觉倾向于将这两者视为相同的音。

     

    3.

    如此一来,可以立即依定义写出十二平均律中各音高的频率值,如下图:

     这图一目了然:十二平均律即将八度音程(2倍频)按等比序列作12等分。

    由此我们立即明白,十二平均律的明显好处,就是“平移不变性”:将八度之内任意音重新认作第一级音,则其上八度之内的十二个音的间距(在等比例的意义下)仍然不变。这对音乐的移调自然是重要的。

    为了以下行文方便,我们在此借用十二平均律的好处,将其半音音程(2的十二分之一倍频)按等比例作100等分(或者干脆,将频率取对数然后作100等分),并将其中的一份的音差(即2的1200分之一倍频)称为1音分(cent)。如此一来,十二平均律的每个半音都是100音分,每个全音都是200音分,而八度则是1200音分。音分和频率的换算公式,这里就不详列了,因为实在是很简单的算术。

    此刻我们立即遇到之前提到的两点疑问:一是,为何是12平均律,而不是随便的13、14、15平均律?——如果我们想到任何“平均律”都有平移不变性,都适合移调,那么这个问题就很突出了。二是,12平均律的任何两个音的频率比都不是简单的整数比,我们为何会听到和谐的旋律呢?(比如,请试听Bach平均律键盘曲集第一卷的C大调前奏曲[试听][4]。)

    这其实是相互关联的两个问题。音乐的奇迹,律学的纠结,都在于此。其答案,一言以蔽之,就是如下约等式:

    二分之三,显然是自然泛音列第二泛音与第一泛音的频率比,这样简单的整数比,按照Pythagoras学派的看法,当然也依照我们耳朵的意见,是谐和的。另一方面,十二平均律的第八级音,2的7/12次方,与之仅有2音分的差别(即五十分之一个半音)。这微小的差别基本无法为人耳所分辨。因此,十二平均律的纯五度(即700音分),应当是足够谐和了。

    那么其余各音呢?为理解之,这里考虑另一种“有理的”律制。其出发点是:既然“7个半音”很接近3/2倍频,那么不妨就取7个半音的音程为3/2。又因为7与12互质,所以可取3/2倍频为生成元,上下行逐个生出十二个音。如果取C音为第一级音,则向上,我们依次得到:

    G, D, A, E, B, #F, #C, …… ;

    向下依次为:

    F, bB, bE, bA, …… .

    这样,每个音的频率都是第一级音的有理数倍。比如,上行序列前七个音的频率为:

    下行同理可得。这种以纯五度为生成元生出各律的律制,习称为五度相生律(circle-of-fifths system)。

    显然,在五度相生律的生律序列(而不是音高序列)中,距离第一级音(比如C)愈近,则愈谐和。所以,G、F都可与C构成谐和的音程,而#C、bA就不可。依照这种逻辑,我们大概会觉得,构成大三和弦的第二级音(如C-E-G中的E)在生律序列上离第一级音过于远,以致大三和弦不如我们期待的那样谐和。一种解决的办法,是在纯五度=3/2的基础上,引入大三度=5/4,用这两个生成元同时生律。由之而得的另一种更复杂的律制,习称纯律(just intonation)。此不详述。

    五度相生律有一个独特的性质,在十二平均律是没有的。那就是,如过我们按照上下行生律序列继续下去,就会发现,#C和bD并不是等音。实际上,#C比bD高24音分,约合1/4个半音。这似乎有助于理解,为何小三度谐和而增二度不谐和:因为在五度相生律的生律序列中,bE距C较近,而#D距C则远得多。

    你也许早就看出五度相生律的麻烦了:它的生律序列,无论上行下行,在生完12律之后,并不闭合。同时,在这种律制下移调,也是蛮复杂的问题,不若十二平均律那样简单。有趣的是,西方音乐和中国音乐对律制的探索,都以五度相生律始,最终都达至十二平均律。现在,十二平均律公认的最早提出者,是明代的朱载堉(1584年)。

    关于十二平均律,我们尚未回答的问题是:除了纯五度,十二平均律其余各音的谐和性如何?既然我们已经有了一种“有理”的五度相生律,那么不妨将这两种律制中的每个音逐个比较,以见其差别。你大概早已想到,这差别的音分值按生律序列成等差数列,如下图所示。

    此图的纵坐标是音分值。可见,两种律制最多不差15音分,略大于半音的1/7。所以,十二平均律的和谐性,大概不是严重的问题。

     

    4.

    最后,我们回到本文一开始提到的问题:为何是十二平均律?

    我们已经看到,如果从五度相生律出发,去寻找一种具有周期性和平移不变性的律制,大抵会找到12平均律,而不是别的。但这并不意味着十二平均律是唯一可能的平均律,换言之,在其它平均律中,我们也常能找到与(比如说)纯五度相近的音程。

    A. Schoenberg用自然泛音列来说明十二平均律、大调音阶,以及半音音阶的由来[5]。按照他的说法,基音(比如C)上的前六个自然泛音,加上其上属音(即基音上方纯五度,比如G)上的前六个自然泛音,以及其下属音(基音下方纯五度,比如F)上的前六个自然泛音,除去冗余的音(即模2的整数次幂相等的音),即得大调音阶。(请读者自己验证。)这就是为什么要在12个音中选出那7个音(C,D,E,F,G,A,B)作为“白键”的原因。

    Schoenberg继续说,如果将基音及其上下属音上方的自然泛音列从前6个扩展到前12个,就得到了12个半音音阶。按照他的说法,就像物理规律挑出了我们听来十分谐和自然的大调音阶一样,他的十二音作曲法,也有物理规律的支持。这种说法有多少道理,我并不清楚。比如,这种辩护至少也可用于中国的五声音阶。同时,我们还可以怀疑两点:一是,第七个、以及更高的自然泛音,在通常情况下都极弱,难以为人耳分辨。二是,从第7到第12泛音中的好些音,与十二平均律的半音有相当显著的差异。比如,基音上方第11泛音合551音分,介于十二平均律的F与#F之间。

    事实上,我们完全可以考虑其他可能性,6平均律,19平均律,24平均律,等等。可以想象,这些律制将产生非常特别的调性音乐——至少对于熟悉西方音乐传统的耳朵来说。比如,6平均律正好对应于八度之内的全音阶。一个应用全音阶的例子是Debussy的《前奏曲》第一卷第二首的开始两小节[试听]。再如,24平均律[试听]是阿拉伯音乐的基本的生律法。考察其他文化传统中的音乐,或者考察20世纪以来的各种探索,种类繁多的平均律更是不胜枚举。

    简单总结之,单从物理的角度看,律学的主要问题是谐和性、周期性与简单性三者之间的矛盾[6]。十二平均律相当漂亮而平衡地调和了这组矛盾,从而能够成为一种广泛使用的律制。

    同时我们不应忘记,律制的选择和差异,并不单纯是物理或数学的问题,它同时还受到不同文化背景的影响。我以为,单纯从物理规律出发为某一种律制辩护的方式往往是十分可疑的。

    另外,人耳对音高的听辨显然有一阈值[7]。低于10音分的差别,一般来讲就很难听出了。作为对比,小提琴手揉弦的幅度,通常在50音分左右。在实际操作中,注意到不同律制间的差异有时是重要的。比如,纯律和十二平均律可有十几音分的差异。所以,普遍使用纯律的小提琴与使用平均律的钢琴在合奏时可能就需要注意到这差别。可是,如果离开这些实际问题,单纯讨论这些相当平凡的算术,就显得过于学究气了。

    所以我们不妨就此停住。

     

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    [1] 即使如此,仍然得说,我无法像在此前关于物理的日志那样,保证这篇文章的专业性。以我有限的经验看,此类知识性的文章,若非出于本行专家之手,即使可以做到叙述正确无误,也不易保证纯正的品味。所以我请读者提防这个危险。另外,这篇文章不是科普,我无意为每个术语作花哨的名词解释。所以请读者去wiki自行搜索那些不明白的概念。

    [2] 对波动方程有经验的读者会很容易理解这一点:管乐器的振动体是空气柱,弦乐则是琴弦,所以都是一维的。一维波动方程的模式呈等间隔排列,所以高频模式的频率自然是基频的整数倍。与此相对,打击乐的振动体通常是二维(鼓、钹),其高频模式往往不是基频的整数倍,所以很难被耳朵听出确定的音高。在轴对称的情形(如大鼓),请回忆Bessel函数的节点。当然,如定音鼓、编钟等乐器能奏出近似但不纯净的乐音。这是由于它们的形状经过了特别设计,接近整数倍频的模式被特意强化了。

    [3] 暂不考虑人耳的听觉在远离中频时的非线性。

    [4] 1、Bach的十二平均律钢琴曲集,依原文Das Wohltemperierte Klavier,本意是为调律良好的键盘乐器所写的音乐,并无平均律之意。但这些遍历24个大小调的作品的确显示了十二平均律在移调方面的优势。2、本文所用各音频资源均来自wikipedia或IMSLP,以下不再标注。

    [5] A. Schoenberg, Style and Idea, Philosophical Library, New York, 1950.

    [6] 这让我们立刻想到另一个非常相似的例子,即历法学。在那里,需要调和的矛盾是地球自转、公转,以及月球转动的周期不可“通约”。

    [7] 请试听相差1音分的两个音首先分别演奏、然后叠加演奏的效果[试听]。再试试6音分[试听]和10音分[试听]。你应当能够听出这些细微音差在叠加后形成的拍。你也可以用诸如mathematica之类的软件试验更多的例子。

     

  • §1 引言

    如果说相对论和量子论代表了现代物理学的两大理论基石,那么从这根基上成长出的最丰硕的成果,大概非量子场论莫属了。作为当代理论物理的标准范式之一,量子场论在好些方面都超出了早前的物理理论。首先是其应用的范围。从基本粒子物理,到凝聚态物理与生物物理,再到宇宙学,几乎穷尽了经验世界所有的尺度。其次是其精确性。作为量子场论典范理论的量子电动力学,是人类迄今所创造出的最精确的理论,其理论与实验十几位有效数字的吻合,为人津津乐道。

    或许有人会说,量子场论之复杂艰难,也超过了任何早前的理论。而这倒未必。我觉得,这复杂和艰难很有可能只是由于场论的建立相对晚近,我们理解它的方式仍不够恰当、不够直接。也许物理学家需要经过更久的反刍,才能降低目前理解场论所需的势垒。不过可以聊以自慰的是,似乎任何全新的理论在初创时都是难懂的:我们都知道,Einstein在发明广义相对论后不久,有人对Eddington爵士说,世界上仅有2.5个人懂得它。可是,如果现在还有谁试图用这个故事来鼓吹相对论有多么难懂,我倒想和他分享另一个故事:《自然哲学的数学原理》成书时,有人评价道,Newton写了一本自己都看不懂的书。

    不过话说回来,对多数初学者而言,量子场论的曲折繁复,是确凿无疑的。就我极有限的观察,在那些纷繁芜杂的概念中,没有什么比“重整化(renormalization)”引起了更多的误解。有意思的是,初学者的那些典型误解,正是老一辈学者的观点。最典型的例子是Dirac。他说:

    “多数物理学家对此状况已非常满意。他们说:‘量子电动力学是个好理论,我们不必再为它苦恼了’。我必须说,我对这状况非常不满意,因为这个所谓的‘好理论’要忽略无穷大,要任意地忽略方程中的无穷大。这不是好的数学。好的数学是,你忽略一个量是因为它小——而不是因为它无穷大、而你又不想要它!”[1] 

    很明显,Dirac根本没有理解重整化的正确涵义。请注意,他说这话时已是1975年,彼时Wilson关于重整化群的文章业已发表。不过我们自然不可强求Dirac去理解重整化群,因为老一辈学者经常是无可救药的[2]。可是,如果今天还有谁要坚持Dirac的这种看法、还因为自己不正确的理解而攻击重整化本身,那又何异于成天反相对论的民科呢?

    所以,我希望在此文中讨论重整化群理论的若干细节,以期有助于澄清某些常见的误解,包括刚才提到的Dirac式误解,也包括我自己在初学场论时时所持有的误解。如我的其它同类文章,在正文前,有必要作几点声明。

    首先,我避免将本文做成教科书或讲义。所以,阅读本文不可代替阅读严肃的教科书,更不可代替亲自推导。事实上,若想对量子场论的任何概念有较扎实的理解,亲自推导是不二法门。我以为,单是数学推导的硬功夫有时就足以消除一些习见的误解。

    同时,我也避免将本文做成科普,因为我希望澄清误解而不是创造误解。可是据我看,没有什么比科普创造了更多误解。所以,我会尽力将故事的逻辑解释清楚,但偶尔也会不加解释地使用一些并不初级的概念。我当然欢迎所有读者,但我设想读者至少有物理专业的背景。对于离理论物理较远的读者,我只能抱歉地说,读到哪里算哪里。如果遇到奇怪的符号或概念,就当作咒语吧。

    为了清晰起见,我们只讨论量子场论的传统理论。此处所谓传统理论,在历史上是指物理学家从量子电动力学到重整化群理论的建立这段时间(1940s-1970s)所发展的场论,在技术上,则指相对论性的、具有经典极限的微扰量子场论。虽然更现代的非微扰方法提供了更有趣、并且也许是更重要的视角,但对本文而言,传统的微扰量子场论已经足够。

    最后,我绝不敢妄称自己对这些理论有怎样完备的理解,所以错漏实在难免。不当之处,请读者指正。

     

    §2 QFT in practice: 一切都是输入输出!

    让我们以一个问题开始,即,作为一种物理(而不是数学或者形而上学)理论,量子场论如何工作。

    大体上,和其他物理理论一样,量子场论可被视为输入输出系统。输入和输出端是可观测量,而其内核,则是一套数学公式体系。一种理论的物理意义就在于,将有限的可观测量输入理论后,理论可以通过公式体系的演绎,给出确定的、可供实验与观测检验的输出。至于这理论内核中的概念是否有经验世界的对应物,则不是物理理论所要解决的问题。

    在量子场论的情形,输入输出端是关联函数。粒子探测器的计数、材料对激发的响应、宇宙的大尺度结构,这些可观测量在量子场论中都可化为关联函数。因此,将场论与实验观测建立联系,需要做两件事情:一是将观测量与关联函数建立联系,二是用理论计算关联函数。前者依赖于具体应用的场合且与本文关系不大,所以我们假设这一步已经做到,从而将关联函数径直视作可观测量。而后者,就是本文的中心问题。现在让我们讨论之。

    至少在本文所关心的情形,关联函数总可被表达成路径积分,且这路径积分总能从配分函数通过泛函微商求得。因此,问题划归为计算配分函数。配分函数也是路径积分,它由两部分构成:被积泛函与积分测度。被积泛函是以经典作用量为相角的纯相位,而积分测度,一般来说是没有定义好的。我们或许可以像定义有限维线性空间的积分测度那样,将每个方向的微分形式简单地“乘”起来,但对于无穷多自由度来讲,这样做没有定义:正如简单地将所有自然数相加没有定义一样。因此需要其它更聪明的方式来定义这个测度。在场论中,为路径积分的测度赋予定义,就叫做正规化。

    至于在实际应用中,我们极少直接定义此测度,因为我们通常并不计算配分函数,而是用微扰论,亦即Feynman图的方式,去逐阶计算散射矩阵元。这逐阶展开的参数,通常就是Planck常数h, 而展开的阶数,就是Feynman图的圈数。通常,领头阶,即“树图”,亦即h的零次项,并不依赖于泛函积分测度的定义,换用物理学家的术语,就是不依赖于正规化。所以,如果你只关心这一阶的结果,那的确不需要去为定义泛函积分的测度而费神[3]。但是,当我们计算圈图的时候,就会遇到麻烦:泛函积分测度无定义,在此就表现为圈积分的无穷大。这就是一切麻烦的根源。

    于是,在圈图计算中,正规化的意思是,为圈积分找到合适的定义。这个问题很像为所有自然数的和找到一个定义。一旦被定义好,原来发散的圈积分就收敛于有限大的值了。

    表面上看,这里所谓合适的定义,有相当大的自由度。因为,正规化只是将理论定义好的一种手段,不属于可直接观测的物理。但不难想见的是,正规化手续,即下定义的方式,会以某种方式与真实的物理相联系。事实上,当加入来自物理的限制(例如对称性)之后,合用的正规化方式往往相当有限。特别是当理论的对称性很强、从而其限制也很强时,合适的正规化时常求之不得。比如我们至今似乎还不知道如何正规化一个超对称的规范理论,使超对称与BRST对称性同时得以保持。

    尽管如此,让我们暂时搁下这个问题,且假设已经找到了合适的正规化方法,并继续讨论量子场论如何工作。为确定起见,我们以量子电动力学(QED)为例。

     

    §3 QED: 如何输入?如何输出?

    QED的Lagrangian有两个未知参量(至少在表面看来如此[4]),即“电子质量项”的系数m0与电磁相互作用项的系数e0。所以我们需要至少两个输入量,才可以去计算更多可观测量。不要忘记,我们总是以关联函数为窗口做输入。所以,这里所谓的两个输入量,应该是出现在关联函数中的参量。若称这两个参量为A和B,则用 QED计算的结果应有如下形式: